主成分分析法在黄金期货量化策略中的应用

原标题：主成分分析法在黄金期货量化策略中的应用 来源：原创

   我们在研究某些问题时，需要处理带有很多变量的数据。变量和数据虽然很多，但可能存在噪音和冗余。然而，主成分分析法可以用少数变量来代表所有的变量，用来解释研究者所要研究的问题，化繁为简，抓住关键，也就是降维思想。本文以黄金期货为例，通过对其基本面数据进行分析，提取了对黄金影响较大的10个基本面变量，使用主成分分析法对数据进行降维处理，并使用降维后的新变量构建黄金期货的量化择时策略。

   主成分分析法的核心思想

   我们在研究某些问题时，需要处理带有很多变量的数据。比如，研究房价的影响因素，需要考虑的变量有物价水平、土地价格、利率、就业率等。变量和数据很多，但可能存在噪音和冗余，因为这些变量中有些是相关的，那么就可以从相关的变量中选择一个，或者将几个变量综合为一个变量，作为代表。用少数变量来代表所有的变量，用来解释所要研究的问题，就能化繁为简，抓住关键，这也就是降维的思想。

   主成分分析法（Principal Component Analysis，PCA）就是一种运用线性代数的知识来进行数据降维的方法。它将多个变量转换出少数几个不相关的变量来，但转换后的变量能比较全面地反映整个数据集。这是因为数据集中的原始变量之间存在一定的相关关系，可用较少的综合变量来表达各原始变量之间的信息。

   具体来看，在数学变换中保持变量的总方差不变，使第一变量具有最大的方差，称为第一主成分，第二变量的方差次大且和第一变量不相关，称为第二主成分。依次类推，i个变量就有i个主成分。其中，Li为p维正交化向量（Li×Li=1），Zi之间互不相关且按方差由大到小排列，则称Zi为X的第i个主成分。设X的协方差矩阵为Σ，则Σ必为半正定对称矩阵，求特征值λi（按从大到小排序）及其特征向量。可以证明，λi所对应的正交化特征向量，即为第i个主成分Zi所对应的系数向量Li，而Zi的方差贡献率定义为λi/Σλj，通常要求提取的主成分的数量K满足Σλk/Σλj>0.85。

   主成分分析法的核心思想是降维，而降维的基础是变量之间的相关性。主成分分析法不要求所有变量都相关，但部分变量之间的相关性比较大才能满足降维的条件，否则强制对不相关的变量进行降维，主成分分析法就失去了实际意义。因此，对于价格内在影响因素相关度较强的期货品种，用主成分分析法进行分析研究是比较合适的，而对于影响因素相关度较弱的期货品种不适合。

   那么主成分分析法是如何降维的呢？我们从坐标变换的角度来获得一个感性的认识。

   在短轴上，观测点数据的变化比较小，如果把这些点垂直地投影到短轴上，那么有很多点的投影会重合，这相当于很多数据点的信息没有被充分利用到。而在长轴上，观测点的数据变化比较大。因此，如果坐标轴和椭圆的长短轴平行，那么代表长轴的变量直接可以从数据集的原始变量中找到，它描述了数据的主要变化。而另一个原始变量就代表短轴的变量，描述的是数据的次要变化。

   在极端情况下，短轴退化成一个点，那么就只能用长轴的变量来解释数据点的所有变化，就可以把二维数据降至一维。不过，坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平行，就像上图所展示的那样。因此，需要构建新的坐标系，使得新坐标系的坐标轴与椭圆的长短轴重合或平行。这需要用到坐标变换，把观测点在原坐标轴的坐标转换到新坐标系下，同时也把原始变量转换为长轴的变量和短轴的变量，这种转换是通过对原始变量进行线性组合的方式而完成的。

   举例来说，一个观测点在原X—Y坐标系中的坐标为（4，5），坐标基为（1，0）和（0，1），如果长轴为斜率是1的线，短轴为斜率是-1的线，新坐标系以长轴和短轴作为坐标轴，那么新坐标基可以取为

和